### 问题描述 在东方大陆的一隅，一位著名的策士，以其深邃的智慧解决了无数看似杂乱无章的难题。在他的桌上，总是堆满了各种各样的卷轴和图纸。有一天，他遇到了一个有趣的挑战：用一组特定的规则，排列出一长串的数列。这些数列必须满足以下条件： 1. 数列的第一个数为 $2$。 2. 数列中任意两个连续的数，前一个数必须小于后一个数。 3. 在数列中任意选择两个数 $x_i$ 和 $x_j$，当 $i$ 不大于 $j$ 时，必须满足 $(x_i)^j < (x_j + 1)^i$。 策士很快就发现，这样的数列并不多见。他注意到，当数列长度为 $2$ 时，只有 $5$ 个这样的数列。而数列长度为 $5$ 时，则有 $293$ 个。经过一番演算，他还计算出了长度为 $10$ 的数列有 $86195$ 个，长度为 $20$ 的数列有 $5227991891$ 个。 如今，策士想要挑战更大的谜题，他想知道长度为 $10^{10}$ 的这样的数列有多少个。但由于数目可能极其庞大，他决定只需要知道这个数目模 $10^9$ 的结果。 ### 输入格式 无。 ### 输出格式 输出一个整数，表示长度为 $10^{10}$ 的数列个数模 $10^9$ 的结果。 ### 说明 **本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将结果输出即可。**